百五減算

2026/05/28

最終更新: 2026/05/28

タグ: article, 数学, 記事3

内容

$105$ 未満の整数 $x$ について
$x$ を $3$ で割ったあまりが $a$ ,
$x$ を $5$ で割ったあまりが $b$ ,
$x$ を $7$ で割ったあまりが $c$ と分かっているとき、
$x$ は $70a + 21b + 15c$ の値から105未満になるまで105を引き続けることで求められる.

（つまり、 $70a + 21b + 15c$ を $105$ で割ったあまりが $x$ ということ）

証明

ある整数 $x$ が、整数 $a, b, c$ について

\begin{equation} \begin{cases} x \equiv a \mod 3 \\ x \equiv b \mod 5 \\ x \equiv c \mod 7 \end{cases} \end{equation}

を満たすとき、

\begin{equation} 70a + 21b + 15c \equiv x \mod 105 \end{equation}

が成り立つことを証明する。

まず $(1)$ より, 整数 $\alpha, \beta, \gamma$ を用いて以下の式が成り立つ:

\begin{cases} x = 3\alpha + a \\ x = 5\beta + b \\ x = 7\gamma + c \end{cases}

ゆえに,

\begin{equation} \begin{cases} a = x - 3\alpha \\ b = x - 5\beta \\ c = x - 7\gamma \end{cases} \end{equation}

$70a + 21b + 15c$ の $a, b, c$ に $(3)$ の結果を代入すると,

\begin{aligned} 70a + 21b + 15c = 70(x - 3\alpha) + 21(x - 5\beta) + 15(x - 7\gamma) \\ = 70x - 210\alpha + 21x - 105\beta + 15x - 105\gamma \\ = 106x - 210\alpha - 105\beta - 105\gamma \\ = x + 105(x - 2\alpha - \beta - \gamma) \\ \equiv x \mod 105 \end{aligned}

したがって、 $(2)$ は成り立つ. (証明終わり)